Konsep SISTEM BILANGAN RIIL

Materi(klik di sini!) 

TURUNAN MAKSIMUM DAN MINIMUM

 Apakah kalian mengetahui bagaimana cara menentukan titik maksimum atau minumum suatu fungsi dengan menggunakan konsep turunan?

persamaan turunan merupakan persamaan yang berisi variabel dependen dan independen serta turunan yang berbeda dari variabel dependen.

Menurut Differential Equations (2006) oleh Hari Kishan, solusi dari persamaan turunan adalah hubungan fungsional antara variabel yang terlibat, yang memenuhi persamaan tersebut.

Salah satu aplikasi dari konsep turunan adalah menentukan titik maksimum atau minimum suatu fungsi.

Suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum atau minimum) jika gradiennya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0).

Titik tersebut dinyatakan dengan titik stasioner. Beberapa sifat dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut:

f'(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik stasioner (kritis).

f'(x1) = 0 dan f''(x1)>0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum.

f'(x1) = 0 dan f''(x1)<0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum.

f''(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.

Himpunan 2 (penjelasan materi)

Materi(klik di sini) 

Himpunan 1(pengertian dan sejarah)

 Dalam matematika, himpunan (disebut juga kumpulan, kelompok, gugus, atau set) dapat dibayangkan sebagai kumpulan benda berbeda yang terdefinisi dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh[1]. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan.

Konsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, Georg Cantor, pada akhir abad ke-19. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".[2][3]

Himpunan merupakan satu di antara konsep dasar matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini.[4] Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam teori himpunan.

KEPRIMAAN

Materi(klik di sini) 

KETERBAGIAN.

Materi(klik di sini) 

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

 

Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Dalam mata pelajaran Matematika, terdapat materi yang berupa bangun datar lingkaran, persegi, persegi panjang, dan lain sebagainya. Bangun datar merupakan objek geometri dua dimensi dan memiliki beberapa titik, garis, serta sudut.

Bangun datar dapat dengan mudah ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Perbedaan menonjol antara bangun ruang dan bangun datar adalah tidak adanya ruang di dalam bangun tersebut.

Pada pelajaran Matematika, terdapat pembahasan lanjutan mengenai bangun datar. Contohnya seperti rumus, gabungan, dan lain sebagainya. Salah satu materi lanjutan dalam bangun datar lingkaran adalah garis singgung lingkaran.

Jenis Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran dapat terletak di sisi luar lingkaran berjarak, sisi dalam lingkaran seakan memotong, dan tepat di sisi luar lingkaran tanpa jarak. Perbedaan ini tergantung pada jenis garis tersebut. Untuk mengetahuinya, berikut penjelasan mengenai jenis-jenis garis singgung lingkaran:

1. Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Pada Lingkaran

Jenis garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran ini adalah ketika lingkaran dan garis singgungnya menempel.

Terdapat contoh yang dapat merepresentasikannya yakni seperti roda pada jalan. Roda tersebut memiliki garis terluar yang langsung bersinggungan dengan garis jalan.

Benda lain yang menggambarkan garis singgung lingkaran jenis ini adalah tong yang menggelinding. Bayangkan tong dari satu sudut pandang dan merupakan bangun datar, maka akan terlihat tepi permukaan tong dan permukaan bawahnya yang bersinggungan.

2. Garis Singgung Lingkaran dari Gradien

Jenis garis singgung bangun lingkaran yang selanjutnya yakni gradien. Pada garis ini, terlihat seakan ada potongan dalam lingkaran. Hal tersebut terjadi karena garis singgung berada tepat di atas lingkaran.

Untuk memahaminya lebih mudah, ambil kertas HVS dan potong hingga berbentuk lingkaran. Kemudian, tempelkan lidi atau benda memanjang tipis lain di atasnya.

Lidi tersebut menunjukkan garis singgung yang seakan memotong lingkaran menjadi dua. Lingkaran tersebut seakan menjadi setengah lingkaran yang luasnya dapat berbeda-beda.

Ciri khas garis singgung lingkaran ini cukup mudah dikenali daripada dua jenis lainnya. Pada dasarnya, apabila garis ada di dalam lingkaran, maka garis singgung tersebut adalah garis singgung lingkaran dari gradien.

3. Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

Jenis garis singgung lingkaran yang berikutnya yakni garis yang berada di titik luar lingkaran. Pada jenis ini, garis benar-benar tidak menyentuh lingkaran. Garis dan lingkaran seakan berjarak satu sama lain.

Ciri tersebut menjadi pembeda utama jenis ini dengan jenis garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran. Jarak tersebut juga menjadi pembeda antara garis singgung ini dengan jenis dari gradien.

TEOREMA PHYTAGORAS

SEJARAH PHYTAGORASA

     Pythagoras (582 SM-496 SM) lahir di Pulau Samos, Yunani Selatan. Salah satu peninggalannya yang paling populer adalah teorema pythagoras.

    Berdasarkan sejarah, isi teorema pythagoras sebetulnya sudah diketahui dan diterapkan orang-orang Babilonia dan India berabad-abad sebelum lahirnya Pythagoras. Namun, teorema itu dianggap sebagai penemuan Pythagoras karena dialah yang pertama membuktikan pengamatan tersebut secara matematis.

    Pythagoras juga menemukan hal penting lainnya dalam bidang matematika, yaitu rasio emas atau golden ratio. Pada masa lalu, matematika tidak hanya berkaitan dengan bilangan, melainkan juga untuk menjabarkan filsafat dan memahami keindahan.

Bunyi Teorema Pythagoras
    Teorema Pythagoras, sebagaimana dikutip dari buku Super Complete Rumus Matematika IPA SMP/MTs 7, 8, 9 oleh Elis Khoerunnisa dna Arinta Dra Setiana berbunyi, "Pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) adalah sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi penyikunya."

Hubungan antar sisi panjang segitiga siku-siku adalah sebagai berikut:

1. AC2 = AB2 + BC2 atau c2 = a2 + b2

2. AB2 = AC2 - BC2 atau a2 = c2 - b2

3. BC2 = AC2 - AB2 atau b2 = c2 - a2

Rumus Pythagoras

    Rumus pythagoras adalah sebagai berikut:

a2 + b2 = c2

Keterangan:

c = sisi miring
a = tinggi
b = alas

PENDIDIKAN MULTIKULTURAL

 

Pengertian Pendidikan Multikultural

    Pendidikan multikultural adalah pendidikan yang menanamkan pentingnya menghargai heterogenitas, baik suku, budaya, etnis, dan sebagainya. 

    Pendidikan ini termasuk pendidikan yang penting untuk diterapkan sejak dini pada anak-anak agar mereka bisa tumbuh menjadi generasi yang toleransi terhadap keberagaman. Pendidikan multikultural bisa diberikan secara langsung oleh sekolah melalui guru maupun diterapkan oleh  orang tua di rumah.

Tujuan Pendidikan Multikultural

    Setiap pendidikan tentu memiliki tujuan mulia yang diharapkan bisa memperbaiki kualitas hidup manusia, begitu juga dengan pendidikan multikultural. Adapun tujuan pendidikan ini adalah sebagai berikut.

1. Memaksimalkan fungsi sekolah dalam menghadapi keberagaman peserta didiknya.
2. Melatih peserta didik dalam bersikap positif terhadap keberagaman suku, etnis, budaya, dan kelompok yang berbeda dengan dirinya.
3. Mengasah keterampilan sosial peserta didik dalam berinteraksi di lingkungan yang heterogen.
4. Mengajarkan peserta didik akan pentingnya keberagaman dan cara menghargai perbedaan.
5. Melatih peserta didik untuk menerapkan hidup damai dalam keberagaman.

Fungsi Pendidikan Multikultural

Adapun fungsi pendidikan multikultural adalah sebagai berikut.

1. Sebagai langkah penguatan karakter pada peserta didik. 
2. Sebagai upaya untuk mengajarkan pada peserta didik bahwa konflik itu selalu ada, sehingga mereka bisa mengedepankan perilaku positif di tengah keberagaman.
3. Sebagai upaya pembinaan akan pentingnya menjaga keutuhan bangsa yang di dalamnya memuat keberagaman.

Manfaat Pendidikan Multikultural

Manfaatnya adalah sebagai berikut.

1. Peserta didik bisa bebas mengekspresikan kreativitasnya tanpa khawatir mendapatkan perlakuan diskriminasi.
2. Peserta didik terlatih untuk menyikapi berbagai keragaman di lingkungan sekitar.
3. Peserta didik termotivasi untuk menjadi agen perubahan sosial yang nantinya bisa menghapuskan tindakan rasial maupun etnosentrisme.

Konsep Pendidikan Multikultural

Menurut pendiri Pusat Pendidikan Multikultural Universitas Washington, James Banks, konsep dasar pendidikan multikultural adalah setiap peserta didik harus diberikan kesempatan yang sama tanpa memandang perbedaan kondisi, baik suku, budaya, jenis kelamin, dan lainnya. Mereka berhak mendapatkan persamaan di semua aspek pendidikan. 

Misalnya, seorang guru harus memberikan perhatian, bimbingan, arahan yang sama pada semua peserta didiknya di kelas. Penerapan konsep tersebut di sekolah diharapkan mampu mencegah tindakan diskriminasi di masa mendatang. 

Semakin banyak generasi yang sadar akan pentingnya menjaga perdamaian, semakin kecil kemungkinan terjadi tindakan diskriminasi, baik rasial maupun etnosentrisme.

Dimensi Pendidikan Multikultural

Menurut James Banks, ada lima dimensi pada pendidikan ini. Dimensi tersebut bisa membantu guru dalam menyikapi perbedaan peserta didiknya karena saling berkaitan. Adapun dimensi yang dimaksud adalah sebagai berikut.

A. Dimensi integrasi

Dimensi integrasi adalah dimensi yang di dalamnya memuat kecakapan guru dalam mengintegrasikan beberapa materi yang berbeda agar bisa mencapai satu kata kunci yang sama. Hasil integrasi tersebut selanjutnya dimasukkan ke dalam kurikulum dengan penambahan materi multikultural.

B. Dimensi konstruksi

Dimensi ini lebih mengarah kepada peserta didik. Pemahaman peserta didik dipengaruhi oleh pengetahuan yang diterimanya.

C. Dimensi pengurangan prasangka

Dimensi ini merupakan dimensi yang melibatkan peran guru dalam menghilangkan berbagai prasangka akan suatu ras, agama, maupun etnis. Artinya, guru harus bisa membentuk perilaku positif peserta didiknya saat menghadapi heterogenitas di sekolah. 

Misalnya, seorang peserta didik rasis pada temannya yang berbeda suku. Dalam hal ini, guru harus bisa mengalihkan pandangan tersebut dengan cara membaurkan mereka disertai pembahasan tentang indahnya keberagaman dan perbedaan kelompok.

D. Dimensi pendidikan yang sama

Dimensi pendidikan yang sama diwujudkan dengan seringnya guru mengembangkan kerja sama antarpeserta didiknya. Dimensi ini sulit untuk dicapai jika guru masih membiasakan perilaku kompetitif.

E. Dimensi pemberdayaan budaya sekolah dan struktur sosial

Dimensi ini tidak bisa dilakukan secara instan, tetapi mudah untuk dilakukan jika guru dan peserta didik selalu terlibat secara aktif. Guru harus bisa memberdayakan kembali di kelas setiap budaya peserta didik yang berbeda kelompok. 

Selanjutnya, budaya-budaya tersebut disusun menjadi struktur sosial yang identik dengan karakteristik sekolah tersebut.

Prinsip Pendidikan Multikultural

Agar mudah diimplementasikan di kehidupan belajar peserta didik, pendidikan ini harus berpedoman pada prinsip berikut.

1. Memiliki desain kurikulum beragam di mana kurikulum tersebut mampu mewakili pandangan banyak orang.
2. Tidak adanya penafsiran tunggal pada suatu kebenaran dalam sejarah.
3. Pencapaian kurikulum harus mengacu pada analisis komparatif dari berbagai sudut pandang berbeda.
4. Menjunjung tinggi pemberantasan pandangan tentang ras, suku, budaya, dan agama.

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

    Cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri dibagi menjadi 4 metode, yaitu (1) dengan metode substitusi langsung; (2) dengan menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri; (3) dengan metode pemfaktoran; (4) dengan cara menyederhanakan fungsi trigonometrinya. Sebagai materi prasyarat pada bahasan limit fungsi trigonometri selain Ananda harus hapal nilai-nilai sudut istimewa untuk sin, cos, tan dan kebalikannya juga harus hapal rumus-rumus trigonometrinya ya. Jadi Ananda boleh sambil buka buku atau catatan kelas X tentang rumus-rumus trigonometri dan kelas XI tentang limit fungsi aljabar. Okay, sekarang kita lihat satu per satu cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri.

1. Metode substitusi langsung

     Penerapan metode substitusi langsung dalam menentukan atau menyelesaikan limit fungsi trigonometri sangat mudah, yakni dengan langsung mengganti x dengan angka yang tertera di soal atau lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 Perhatikan contoh soal berikut: Gunakan metode substitusi untuk menentukan nilai Limit fungsi trigonometri berikut ini:

 1. limsin2𝑥=sin2(𝜋)=sin2𝜋 =sin900 =1 𝑥→𝜋 4 

2. lim tan3𝑥+2=tan3(3𝜋)+2=tan(450)+2= 1+2=3 𝑥→3𝜋 4 

3. lim sin𝑥 = sin0 = 0 =0 𝑥→0 sin 𝑥+cos 𝑥 sin 0+cos 0 0+1 

4. lim 1−cos2𝑥 = 1−cos2(𝜋) = 1−cos𝜋 = 1−(−1) = 1+1 = 2 = −1 2 𝑥→𝜋 2cos2𝑥 2cos2(𝜋) 2cos𝜋 2 (−1) −2 −2 

 Berikut disajikan tabel sudut istimewa yaa biar Ananda gak ribet lagi nihhh.. tapi nanti harus dihapalkan.

tabel trigonometri (facebook.com/Excel Math Tutoring)

2. Menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri

Rumus dasar limit fungsi trigonometri tersebut adalah: 

1. 𝐥𝐢𝐦𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙= 𝒂 𝒙→𝟎𝒃𝒙 𝒃

2.𝒍𝒊𝒎𝒂𝒙 =𝒂 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧𝒃𝒙 𝒃

3. 𝒍𝒊𝒎𝒕𝒂𝒏𝒂𝒙 = 𝒂 𝒙→𝟎 𝒃𝒙 𝒃

4.𝒍𝒊𝒎𝒂𝒙 =𝒂 𝒙→𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝒃𝒙 𝒃

5.𝐥𝐢𝐦𝐭𝐚𝐧𝒂𝒙=𝒂 𝒙→𝟎𝐭𝐚𝐧𝒃𝒙𝒃

6.𝒍𝒊𝒎𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙=𝒂 𝒙→𝟎 𝒃𝒙 𝒃

7.𝒍𝒊𝒎𝐭𝐚𝐧𝒂𝒙 =𝒂 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧𝒃𝒙 𝒃

8.𝐥𝐢𝐦𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙=𝒂 𝒙→𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝒃𝒙 𝒃

Perhatikan dengan seksama dan teliti rumus dasar di atas, jika Ananda jeli Ananda akan menemukan pola jawaban rumus tersebut. Sebagai penguat kita simak contoh soal di bawah ini yaa.

Dengan menggunakan rumus limit fungsi trigonometri di atas, tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut:

1. limsin2𝑥=𝟐 𝑥→03𝑥 𝟑

2. 𝑙𝑖𝑚 2𝑥 = 𝟐 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝟑

3. 𝑙𝑖𝑚𝑡𝑎𝑛5𝑥 = 𝟓 𝑥→03𝑥 𝟑

4.𝑙𝑖𝑚2𝑥 =𝟐=𝟏 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛 6𝑥 𝟔 𝟑

5. 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑎𝑛2𝑥 =𝟐 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛5𝑥 𝟓

6. 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑎𝑛5𝑥−𝑡𝑎𝑛 3𝑥 = ⋯ dengan menggunakan sifat dari limit fungsi aljabar 𝑥→0 3𝑥

3. Rangkuman

Cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri pada pembelajaran pertama ini

dilakukan dengan dua cara yaitu cara substitusi dan pemfaktoran.

1. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎

2. lim𝑓(𝑥) = (𝑥−𝑎)𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) (𝑥−𝑎 )𝑔(𝑎)